Оглавление
Палиндромы в компьютерных науках
В теоретической информатике , точнее в теории формальных языков , был разработан математический формализм для работы со строками символов , которые также называются словами в теоретическом контексте .
определение
Определение, что палиндром — это слово, которое при обратном написании дает то же слово, формально записывается следующим образом:
Палиндром — это слово над алфавитом со свойством
ты{\ displaystyle u}Σ{\ displaystyle \ Sigma}
- тызнак равнотыР.{\ displaystyle u = u ^ {R}},
где означает , что оператор из зеркального отображения (или изменить порядок символов) применяются к слову .
тыР.{\ displaystyle u ^ {R}} Р.{\ displaystyle ^ {R}}ты{\ displaystyle u}
Обратите внимание, что палиндром не обязательно должен иметь здесь смысл; соответствующее слово нужно только построить симметрично вокруг его центра.
Симметричное разложение
Здесь применяется следующее
- тызнак равноvvР.знак равношР.ш{\ Displaystyle и = v \, v ^ {R} = w ^ {R} \, w},
если (длина слова) четное, или
|ты|{\ displaystyle | u |}
- тызнак равноvcvР.знак равношР.cш{\ Displaystyle и = v \, с \, v ^ {R} = w ^ {R} \, c \, w},
если нечетное, где (конечные слова) и (- символ алфавита).
|ты|{\ displaystyle | u |}v,ш∈Σ*{\ displaystyle v, w \ in \ Sigma ^ {*}}c∈Σ{\ displaystyle c \ in \ Sigma}
Это можно увидеть в каждом случае, вставив, например, Б .:
- тыР.знак равно(vcvР.)Р.знак равно(vР.)Р.cР.vР.знак равноvcvР.знак равноты{\ Displaystyle и ^ {R} = (v \, c \, v ^ {R}) ^ {R} = (v ^ {R}) ^ {R} \, c ^ {R} \, v ^ { R} = v \, c \, v ^ {R} = u}
Например, вы можете
- тызнак равноGNUDUNG{\ Displaystyle и = {\ mbox {GNUDUNG}}}
разбирать с
- vзнак равноGNU{\ Displaystyle v = {\ mbox {GNU}}}и ,cзнак равноД.{\ displaystyle c = {\ mbox {D}}}
так что
- тызнак равноvcvР.знак равноGNUД.(GNU)Р.знак равноGNUDUNG{\ Displaystyle и = v \, с \, v ^ {R} = {\ mbox {GNU}} \, {\ mbox {D}} \ left ({\ mbox {GNU}} \ right) ^ {R} = {\ mbox {GNUDUNG}}}.
Обнаружение палиндромов
Язык
- Л.знак равно{vvР.|v∈Σ*}{\ Displaystyle L = \ {vv ^ {R} | v \ in \ Sigma ^ {*} \}}
(набор конечных слов четной длины, являющихся палиндромом) не является правильным ; ЧАС. вы не можете указать регулярное выражение, которое задает, или конечный автомат ( т. е. машину с конечной памятью), которому удается распознать (т. е. решить, принадлежит ли слово языку или нет).
Л.{\ displaystyle L}Л.{\ displaystyle L}Л.{\ displaystyle L}
Поскольку необходимо исследовать произвольно длинные, даже если конечные, слова, потенциально требуется бесконечный объем памяти для запоминания и последующего сравнения. Можно показать, что для распознавания достаточно недетерминированного выталкивающего автомата , например Б. путем определения контекстно-свободной грамматики . Однако не существует детерминированного выталкивающего автомата, распознающего этот язык.
v{\ displaystyle v}vР.{\ displaystyle v ^ {R}}
Рекурсивное определение
Индуктивное или рекурсивное определение палиндромов выглядит следующим образом:
- Пустое слово (слово длины 0, «пустая строка») — это палиндром.ϵ{\ displaystyle \ epsilon}
- Каждое слово длины 1 — это палиндром.Икс{\ displaystyle x}
- Если есть символ и палиндром, то это палиндром.а{\ displaystyle a}Икс{\ displaystyle x}аИкса{\ displaystyle {\ mathit {axa}}}
- Никакое другое слово не является палиндромом.
Бесконтекстная грамматика для палиндромов
Приведенное выше индуктивное определение является отправной точкой для построения контекстно-свободной грамматики для палиндромов.
Для простоты алфавит ограничен двумя символами, то есть двоичным алфавитом . Тогда можно вывести все палиндромы двоичных слов со следующими произведениями :
Σзнак равно{,1}{\ Displaystyle \ Sigma = \ {0,1 \}}
- С.→|1|ϵ{\ Displaystyle S \ к 0 \, | \, 1 \, | \, \ epsilon}
- С.→С.|1С.1{\ Displaystyle S \ к 0S0 \, | \, 1S1}
Палиндромы (пустое слово) и могут быть созданы сразу из начального символа . Остальные палиндромы получаются путем сначала генерирования симметричного слова в обоих направлениях, а затем замены нетерминального символа в середине одним из терминальных символов .
С.{\ displaystyle S}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}1{\ displaystyle 1}
Примеры
- С.⇒С.⇒01С.10⇒011С.110⇒011ϵ110знак равно011110{\ displaystyle S \ Rightarrow 0S0 \ Rightarrow 01S10 \ Rightarrow 011S110 \ Rightarrow 011 \ epsilon 110 = 011110}
- С.⇒С.⇒010{\ Displaystyle S \ Rightarrow 0S0 \ Rightarrow 010}
В биологии
Палиндромы в ДНК: 1 — палиндром; 2 — кольцо; 3 — стебель
В молекулах ДНК присутствует от 100 тыс. до 1 млн коротких палиндромных последовательностей. Принцип их формирования несколько отличается от того, как это происходит для слов и предложений. Поскольку молекула ДНК состоит из двух комплементарных цепочек нуклеотидов, а нуклеотиды всегда соединяются одним и тем же образом (аденин (А) с тимином (Т), цитозин (С) с гуанином (G)), считается, что одноцепочечная последовательность ДНК является палиндромом, если она равна своей комплементарной последовательности, прочитанной задом наперёд. Например, последовательность ACCTAGGT является палиндромной, так как комплементарной ей будет последовательность TGGATCCA, которая совпадает с исходной, прочитанной задом наперёд.
Палиндромные участки распределены по ДНК неравномерно. Они играют важную роль в формировании некоторых типов нуклеиновых кислот, например, в случае транспортных РНК.
Литература[править | править код]
- Палиндром // Словарь литературоведческих терминов / Ред.-сост.: Л. И. Тимофеев и С. В. Тураев. — М.: «Просвещение», 1974. — С. 257. — 509 с. — 300 000 экз.
- Перевертень // Литературная энциклопедия терминов и понятий / Под ред. А. Н. Николюкина. — Институт научной информации по общественным наукам РАН: Интелвак, 2001. — Стб. 735 — 1596 с. — ISBN 5-93264-026-X.
- Антология русского палиндрома XX века. / Сост. В. Н. Рыбинский. — М., 2000.
- Антология русского палиндрома, комбинаторной и рукописной поэзии. / Сост. Г. Г. Лукомников и С. Н. Федин. Консультант Д. Е. Авалиани. — М.: Гелиос АРВ, 2002. — 272 с.
- Бонч-Осмоловская Т. Б. Введение в литературу формальных ограничений. Литература формы и игры от античности до наших дней. Самара: Бахрах-М, 2009. Гл. 1.1—1.4.
- Бубнов А. В. Лингвопоэтические и лексикографические аспекты палиндромии: Диссертация доктора филологических наук. — Орел, 2002.
- Кацюба Е. А. Первый палиндромический словарь. — М., 1999.
- Кацюба Е. А. Новый палиндромический словарь. — М., 2002.
- Воскресенский Д. Н. Китайский палиндром и его жизнь в литературе // Народы Азии и Африки. 1971, № 1.
Решение динамикой
На помощь приходит техника динамического программирования. Обычно динамика применяется там, где нужно найти некоторое оптимальное решение. Вкратце, суть — задача разбивается на меньшие подзадачи до тех пор, пока не сведётся к тривиальному случаю. Затем их решения запоминаются (мемоизируются), и в конце комбинируются в решение основной. Главное отличие от метода «разделяй и властвую» заключается том, что оптимальное решение основной задачи состоит из оптимальных решений подзадач. Также решения подзадач запоминаются, чтобы не вычислять одно и то же по несколько раз. В нашей задаче это длина палиндрома. Однако «динамика» не универсальна. Чтобы быть применимой, задача должна обладать т.н. оптимальной структурой, т.е. удовлетворять следующим критериям:
- Оптимальное решение целевой состоит из оптимальных решений подзадач.
- Подзадачи независимы, т.е. решение одной не влияет на решение другой.
- Подзадачи часто повторяются
Техника запоминания как раз окупается за счёт последнего критерия.
Что такое мемоизация? Это частный случай кеширования, когда сохраняется результат вычисления некоторой функции в зависимости от значений аргументов. Чтобы мемоизация сработала, не должна иметь никаких побочных эффектов (т.е. быть «чистой»).
Начнём с разбора частных случаев. Если состоит из одной буквы, то решать нечего. Что, если у нас две буквы? Тогда ответом будет либо вся строка, если они одинаковы, либо одна буква. Если букв три, то надо сравнить первую и третью букву. Если они равны, то ответом будет вся строка, иначе задача сводится к предыдущей. Понятно, что нам надо как-то найти границы палиндрома в строке.
Вообще, в любом алгоритме динамического программирования есть таблица, хранящая решения подзадач. Пусть хранит самую длинную палиндромную подпоследовательность в подстроке . Решение исходной задачи хранится в . Для простоты считаем что индексы начинаются с единицы. Представим, что мы уже заполнили всю таблицу, кроме . Как нам скомбинировать решения подзадач? Понятно, что самая длинная палиндромная подпоследовательность может храниться либо в , либо в , либо в . Причём если первая и последняя буквы в совпадают, то ответом однозначно будет . У нас получилась рекурсивная формула:
- пустой строке, если
- .
- если
-
Здесь хорошо видно для чего нужны три критерия динамики и почему без них этот метод не сработает. Такую формулу легко запрограммировать на любом языке, я выбрал Python из-за его простоты:
Рекурсивная функция мемоизирует результаты в таблицу , это позволяет добиться полиномиального времени работы. Если запоминание отсутствует, то есть опасность того, что время работы будет экспоненциальным. Не знаю как вам, но мне очень нравятся рекурсивные алгоритмы из-за их элегантности (не путать с эффективностью). Если формула, на которой основывается такой алгоритм, верна, то можно не беспокоиться о его корректности. Однако у них есть один серьёзный недостаток — довольно непросто оценить временную сложность такого алгоритма. В итеративных вариантах всё просто — считаешь количество вложенных циклов, получаешь степень (упрощённо, конечно). Но при реализации итеративного варианта можно легко напортачить с границами циклов, совершив т.н. off-by-one error.
Рекурсивные варианты ещё называют «нисходящим методом», потому что мы как бы идём «сверху вниз» по таблице . Итеративный вариант наоборот будет «восходящим». В нём мы сначала решаем все тривиальные подзадачи, а потом уже постепенно «восходим» до вычисления .
Аккуратное программирование восходящего варианта даст такой результат:
Заметьте, что формула никуда не делась, разве что отпала надобность в первом пункте с . Понятно, что такой алгоритм отработает за .
В биологии[ | код]
Палиндромы в ДНК: 1 — палиндром; 2 — кольцо; 3 — стебель
В молекулах ДНК присутствует от 100 тыс. до 1 млн коротких палиндромных последовательностей. Принцип их формирования несколько отличается от того, как это происходит для слов и предложений. Поскольку молекула ДНК состоит из двух комплементарных цепочек нуклеотидов, а нуклеотиды всегда соединяются одним и тем же образом (аденин (А) с тимином (Т), цитозин (С) с гуанином (G)), считается, что одноцепочечная последовательность ДНК является палиндромом, если она равна своей комплементарной последовательности, прочитанной задом наперёд. Например, последовательность ACCTAGGT является палиндромной, так как комплементарной ей будет последовательность TGGATCCA, которая совпадает с исходной, прочитанной задом наперёд.
Палиндромные участки распределены по ДНК неравномерно. Они играют важную роль в формировании некоторых типов нуклеиновых кислот, например, в случае транспортных РНК.
В музыке[править | править код]
Пьесу играют «как обычно», но после того, как она заканчивается, ноты переворачивают и произведение играют заново, причем музыка не изменится. Итераций может быть сколько угодно и неизвестно, что является верхом, а что низом. Такие произведения можно играть вдвоем, читая ноты с разных сторон. Примерами таких музыкальных палиндромов могут являться произведения «Застольная мелодия для двоих» Моцарта и «Путь Мира» Мошелеса, а также Прелюдия и постлюдия из фортепианного цикла Пауля Хиндемита «Ludus tonalis».
Существенно более сложный вид палиндрома реализован в сочинении «Прощание» Луиджи Даллапикколы.
В биологии
Палиндромы в ДНК: 1 — палиндром; 2 — кольцо; 3 — стебель
В молекулах ДНК присутствует от 100 тыс. до 1 млн коротких палиндромных последовательностей. Принцип их формирования несколько отличается от того, как это происходит для слов и предложений. Поскольку молекула ДНК состоит из двух комплементарных цепочек нуклеотидов, а нуклеотиды всегда соединяются одним и тем же образом (аденин (А) с тимином (Т), цитозин (С) с гуанином (G)), считается, что одноцепочечная последовательность ДНК является палиндромом, если она равна своей комплементарной последовательности, прочитанной задом наперёд. Например, последовательность ACCTAGGT является палиндромной, так как комплементарной ей будет последовательность TGGATCCA, которая совпадает с исходной, прочитанной задом наперёд.
Палиндромные участки распределены по ДНК неравномерно. Они играют важную роль в формировании некоторых типов нуклеиновых кислот, например, в случае транспортных РНК.
Проверьте Palindrome с помощью нарезки в Python
Мы можем использовать концепцию нарезки, чтобы перевернуть строку, а затем мы можем проверить, равна ли перевернутая строка исходной строке или нет.
def check_palindrome(string):
# transversing the string from last to first
reversed_string = string
if string == reversed_string:
print(string, "is a palindrome")
else:
print(string, "is not a Palindrome")
if name=='main':
check_palindrome("RADAR")
check_palindrome("PythonPool")
Output- RADAR is a palindrome PythonPool is not a Palindrome
Вышеприведенный метод прост в использовании, а также хорош, и вы можете использовать его на соревнованиях, но люди обычно не предпочитают использовать его в интервью. Этот метод настолько прост, и люди предпочитают кодировать с нуля, чтобы сделать такую программу, чтобы показать свои навыки. Мы также рассмотрим этот подход в следующем разделе.
Применения[править]
Число новых палиндромов, порождаемых очередным символомправить
| Задача: |
| Необходимо определить число подпалиндромов, которые будут новыми после добавления символа в конец строки . |
Например, при добавлении символа к строке , которая уже состоит из палиндромов , и , добавляется новый палиндром .
Мы знаем, что число новых подпалиндромов при добавлении символа или . Так что решение задачи довольно простое — будем строить дерево палиндромов символ за символом и для каждого нового символа отвечать, был ли добавлен новый палиндром или нет (определить это можно, например, по тому, были ли добавлены новые вершины к структуре).
Также данную структуру можно использовать для подсчета числа различных подпалиндромов строки. Это будет просто число вершин.
Число подпалиндромовправить
| Задача: |
| Требуется определить число подпалиндромов, которые содержатся в данной строке. |
Например, строка имеет четыре подпалиндрома: дважды , и .
Для решения задачи будем строить дерево палиндромов для данной строки и на каждом шаге добавлять к ответу все палиндромы, которые содержат этот новый символ.
Рассмотрим очередной шаг алгоритма после добавления символа . Обозначим за вершину, соответствующую максимальному палиндрому-суффиксу, содержащую этот последний символ.
Заметим, что новые палиндромы, которые добавляет — это , а также все палиндромы, достижимые из по суффиксным ссылкам (т.к. только они содержат новый символ ). Для того чтобы быстро найти их число, будем хранить в каждой вершине длину цепочки суффиксных ссылок до корня (включая саму вершину), а затем будем просто прибавлять к ответу это число для каждого очередного по мере добавления новых символов.
Эта задача также может быть решена алгоритмом Манакера за ту же асимптотику, однако данный алгоритм не может быть расширен для более широкого класса задач, в отличие от дерева палиндромов.
Число вхождений каждого подпалиндрома в строкуправить
| Задача: |
| Необходимо найти число вхождений каждого подпалиндрома строки в неё саму. |
Чтобы решить эту задачу деревом палиндромов, нужно обратить внимание на то, что при добавлении нового символа увеличивается количество вхождений наибольшего палиндрома-суффикса , содержащего новый символ, и всех палиндромов, достижимых из по суффиксным ссылкам.
Для каждой вершины дерева палиндромов будем хранить число вхождений строки в исходную строку (не обязательно актуальные данные) и число, которое необходимо добавить к числу вхождений всех потомков вершины . Назовем такую операцию добавления операцией релаксации. После того, как релаксация будет выполнена для всех предков вершины , можно будет считать, что посчитанное число вхождений соответствует действительности.
Данный метод очень похож на метод, описанный в статье про реализацию массовых обновлений в деревьях отрезков.
Поиск рефрен-палиндромаправить
| Задача: |
| Для данной строки необходимо найти палиндром, произведение длины которого на количество вхождений в строку является максимальным. |
Для решения данной задачи применим тот же алгоритм, что и в прошлой задаче, а затем пройдем по всем вершинам дерева палиндромов и выберем подходящую.
Ответы знатоков
Т@тьянка:
Палиндром — число (например, 404), буквосочетание, слово (например, топот) или текст, одинаково читающиеся в обоих направлениях.Уж редко рукою окурок держу. Ум за рамки тупо плыл по пути к маразму Ешь немытого ты меньше.
Егор Ахряпин:
Палиндром (он же перевертыш) — это фраза, которая читается одинаково слева направо и справо налево
Анаграмма — литературный приём, состоящий в перестановке букв или звуков определённого слова (или нескольких)
Катюша:
анаграммы
Panteryatko:
палиндром
Елена:
А роза упала на лапу Азора — палиндром
Ромашковая:
ну вот)) ) уже ответили) палиндром, конечно. При чем, это не только слово, но и фраза.
demoniqus:
амбиграмма.Такие слова упоминаются кстати в книге «Ангелы и демоны» Дэна Брауна. Почитай.
Вольф:
палиндром))
Лидия ЛИСТОПАД:
Палиндром (англ. palindrome). Слово, фраза или стих, имеющие одинаковый смысл при чтении слева направо и справ налево.
Татьяна Исаева:
Палиндромы. Естть фразы-палиндромы: а роза упала на лапу Азора, есть стихотворения. Выходила книга Ладыгина «И лад, и миражи» -стихи-палиндромы.
АЛЛА ВОЛКОВА:
Палиндром
Павел Мардас:
КОБАН УПАЛ И ЛАПУ НАБОК (читается в две стороны без разделения букв и слов)
Илья Шутов:
Аргентина манит негра ))
Наташа :):
ПАЛИНДРОМЫ (перевертыши) — слова, читающиеся одинаково в обоих направлениях. Некоторые палиндромные фразы:
Аргентина манит негра. На в лоб, болван! Умер, и мир ему. Лезу на санузел.У дуба буду.Oколо Миши молоко.Морда казака за кадром. Венер хотят охренев.Вот сила типа капиталистов.Летя, догонит Иного дятел Ешь немытого ты меньше!Откопать тапок-то?«Пустите! » — Летит супу миска Максиму. — «Пустите, летит суп! «А щётка – как тёща!Я не реву — уверен я.А муза рада музе без ума да разума.Кулинар, храни лук.Ты, милок, иди яром: у дороги мина, за дорогой огород, а за ним и город у моря; иди, коли мыт. Он в аду давно.Ого, вижу живого.Коту скоро сорок суток.Не женат, а нежен.Ты моден и недомыт.Оно, лосося мясо, солоно.Веер веял для евреев.Я с леди все же свиделся.Мак чужд жучкам.Дорого небо, да надобен огород.Леша на полке клопа нашел.Меня истина манит сияньем.Надо меч в кулак, а лук — в чемодан.Шорох от дубка как будто хорош.Не видно, как он дивен.А в Енисее — синева.Я сличил то и то — вот и отличился.Лидер бодро, гордо бредил.Я умру, хлебороб, – ел хурму я.И мал Иван, а лупил у лип улана вилами!
Список можно продолжать до бесконечности…
ЛилЯ:
только слово казак
Пользователь удален:
Ани Лорак
Тута Ларсен
А роза упала на лапу Азора:)))))))) ) Плиз!
LenOk:
А роза упала на лапу азора
Рика:
а роза упала на лапу Азора
Людик:
A роза упала на лапу Азора.
Марина Збинец:
А роза упала на лапу Азора Кабан упал и лапу на бок
???°???µ?» ?????»??????:
искатьтакси, аргентинаманитнегра
Сефака:
«Улыбок тебе казак»только она по-разному….
СПИД:
Шалаш, казак
Иштар:
Потенция (яиц нет, оп)
Шалаш
А ты какие знаешь?
ящикполныйспама:
Кок
nellSON:
кисусик) у меня у друга так кота зовут
Пользователь удален:
кабак
Татьяна:
Это назывется палиндром.
Ешь немытого ты меньше А роза упала на лапу Азора. (А. Фет) У лип Лёша нашёл пилу. И городу дорог огород у дороги. Уж я веники не вяжу. Аргентина манит негра. Он дивен, палиндром — и ни морд, ни лап не видно. Но невидим архангел, мороз узором лег на храм и дивен он. Лёша на полке клопа нашёл. Я Янис, а попа синяя. Лиду будил? Я не стар брат Сеня. А собака боса. Мир как Рим. Лазер Боре хер обрезал. Я ем змея. Луну колокол окунул. Нажал кабан на баклажан. Уж редко рукою окурок держу. А в Енисее синева. Давала попу, попала в ад. Лезу в узел. Мёд ждём. Он рубил и потел от вина, холодно — он до лохани, в то лето пили бурно. На в лоб, болван! Искать такси
Диана Касимова:
шалаш, казак, sos!
pOmka:
око, мадам, шалаш
Mary-An:
око пуп..
Катерина:
мой ответ
Репу вор в ров уперЛев волов велОх, и лететь тете лихо!Он в аду давноИшак ищет у тещи кашиЛису кум укусилА то-барана работаА там-окна банкомата!Меч, а зачем?Дорог огородА клуб, как булкаИ матросы-сортамиЛавры рвалИ лепили, пелиПил вино он и влипТит еле летитВо как! Питон нежен, но тип каков!Меня лимузин изумил. Я нем!Коту тащат утокХа, лапша на шпалахТина барабанитДал кому ум оклад?А ремень-не мераМоток с котомГога медик и демагогУглов отвалил авто-«Волгу»А нос-репой. О, персона!Ужас: ангел лег на сажу!Олесе веселоИ луг, и ЖигулиОна ругала балагура, но.. .Колет око котелокНе нем, да надменен!Упер казак репу
1 1:
загляните сюда — там интересно
.screen /vadvad/Vadvad/Arp/Tsel
История
Отдельные палиндромические словосочетания и фразы известны с глубокой древности (древнейшим из известных является SATOR из Геркуланума I века н. э.), когда им зачастую придавался магически-сакральный смысл (не лишена этого оттенка фраза На в лоб, болван, использовавшаяся русскими скоморохами в качестве перформативного высказывания). Авторское творчество в области палиндрома начинается, по-видимому, в Средние века. В русской литературе достоверно известно об авторском палиндромном стихе Державина «Я и́ду съ ме́чемъ судия», затем об авторском палиндромном стихе Фета «А роза упала на лапу Азора». Первую попытку многострочного (и довольно длинного) стихотворного произведения в форме палиндрома предпринял Велимир Хлебников в поэме «Разин». Однако расцвета русский литературный палиндром (преимущественно стихотворный) достиг только в 1970—1990-е года в творчестве Николая Ладыгина, а затем Владимира Гершуни, Елены Кацюбы и Дмитрия Авалиани. В 1990-х годах началось в России и детальное литературоведческое и лингвистическое изучение палиндромии — прежде всего Александром Бубновым и Германом Лукомниковым.
